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  • Cycle - Permutation cyclique

    Formulaire de report


    Définition

    Si \(i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}\) sont tous distincts, alors on note \((i_1,i_2,\ldots,i_k)\) le cycle de longueur \(k\) : $${{(i_1,i_2,\ldots,i_k)}}:j\longmapsto\begin{cases} {{j}}&\text{si}\quad {{j\notin\{i_1,\ldots,i_k\} }}\\ {{i_{p+1} }}&\text{si}\quad {{j=i_p\quad\text{ avec }\quad p\lt k}}\\ {{i_1}}&\text{si}\quad {{j=i_k}}\end{cases}$$
    (N-uplet, //Transposition)

    Caractéristiques

    Signature d'un cycle
    Support d'un cycle

    Opération sur les cycles

    Composition
    Puissance d'un cycle

    Cycles particuliers

    Cycle de longueur 1
    Transposition

    Exemple


    (i)

    Exercices

    Trouver la décomposition en produit de cycles à support disjoints de la permutation suivante : $$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ 3&7&1&4&2&6&9&8&5&10\end{pmatrix}$$

    On commence par le premier chiffre. C'est \(1\).
    On a \(\sigma(1)=3\) et \(\sigma(3)=1\), donc le premier cycle du produit est \((13)\)

    On commence le deuxième cycle par le premier chiffre que l'on a pas encore inclus. C'est \(2\).
    On a \(\sigma(2)=7\), \(\sigma(7)=9\), \(\sigma(9)=5\) et \(\sigma(5)=2\), donc le deuxième cycle du produit est \((2795)\)

    Les chiffres suivants sont invariants par \(\sigma\), donc la décomposition en produit de cycles à supports disjoints de \(\sigma\) est : $$\sigma=(13)(2795)$$

    Expliciter la permutation \(\varphi\) donnée par : $$\varphi=(10\,3\,4\,1)(87)(47)(56)(26)(29)$$

    On commence par le chiffre tout à gauche. C'est \(10\).
    \(10\) va vers \(3\), et \(3\) ne bouge plus, donc \(\varphi(10)=3\) $$\varphi=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ ?&?&?&?&?&?&?&?&?&3\end{pmatrix}$$

    Le deuxième chiffre non pris en compte est \(3\).
    \(3\) va vers \(4\), \(4\) va vers \(7\) et \(7\) ne bouge plus, donc \(\varphi(3)=7\) $$\varphi=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ ?&?&7&?&?&?&?&?&?&3\end{pmatrix}$$
    On continue de la même façon jusqu'à avoir fait tous les chiffes : $$\varphi=\beginpmatrix1&2&3&4&5&6&
    7&8&9&10\\ 10&9&4&8&6&2&1&7&5&3\endpmatrix$$


  • Rétroliens :
    • Ordre d'une permutation
    • Permutation
    • Transposition